- Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
- Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
- Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
- Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de angulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
- Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.
- Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos interiores son congruentes.
- Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos exteriores son congruentes.
- Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los angulos correspondientes son congruentes.
- Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los
angulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.
martes, 11 de febrero de 2014
Teoremas de rectas parelelas
Tipos de angulos
Un ángulo es una figura conformada en una superficie por dos líneas
que tienen el mismo punto de origen. Existen distintas maneras de
clasificarlos, algunas de ellas son:
A) Tipos de ángulos según su medida:
El ángulo agudo mide menos de 90°.
El recto mide 90°.
El obtuso es aquel que mide más de 90°.
El ángulo convexo mide menos de 180°.
El llano mide 180°.
El ángulo cóncavo es mayor de 180°.
El nulo mide 0°.
El ángulo completo mide 360°.
B) Según su posición:
Los ángulos consecutivos poseen el mismo vértice y un lado en común
Los ángulos adyacentes, en cambio, conforman un ángulo llano ya que tienen un vértice y un lado en común y los otros lados ubicados uno en prolongación de otro.
Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.
De esta manera, los ángulos 1 y 3 son iguales, al igual que 2 y 4.
C) Clases de ángulos según su suma:
Hay dos clases de ángulos los complementarios que devienen de la sumatoria de dos ángulos cuyo resultado es de 90°:
Los ángulos suplementarios, en cambio, son el resultado de dos ángulos cuya sumatoria dé como resultado 180°
D) Ángulos entre paralelas y una recta transversal
En los ángulos correspondientes, como muestra la figura, b y f son iguales:
En los ángulos alternos internos, en cambio, α y β son iguales:
En los ángulos alternos externos 1 y 4 son iguales, como lo muestra la figura:
Con respecto a una circunferencia, los ángulos que existen son los siguientes:
a) Ángulo central: es aquel que posee en el centro de la circunferencia su vértice y sus lados son dos radios.
b) Ángulo inscrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
c) Ángulo semiinscrito: está en la circunferencia. En este ángulos uno de sus lados es secante y el otro tangente a la misma.
d) Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.
e) Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.
A) Tipos de ángulos según su medida:
El ángulo agudo mide menos de 90°.
El recto mide 90°.
El obtuso es aquel que mide más de 90°.
El ángulo convexo mide menos de 180°.
El llano mide 180°.
El ángulo cóncavo es mayor de 180°.
El nulo mide 0°.
El ángulo completo mide 360°.
B) Según su posición:
Los ángulos consecutivos poseen el mismo vértice y un lado en común
Los ángulos adyacentes, en cambio, conforman un ángulo llano ya que tienen un vértice y un lado en común y los otros lados ubicados uno en prolongación de otro.
Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.
De esta manera, los ángulos 1 y 3 son iguales, al igual que 2 y 4.
C) Clases de ángulos según su suma:
Hay dos clases de ángulos los complementarios que devienen de la sumatoria de dos ángulos cuyo resultado es de 90°:
Los ángulos suplementarios, en cambio, son el resultado de dos ángulos cuya sumatoria dé como resultado 180°
D) Ángulos entre paralelas y una recta transversal
En los ángulos correspondientes, como muestra la figura, b y f son iguales:
En los ángulos alternos internos, en cambio, α y β son iguales:
En los ángulos alternos externos 1 y 4 son iguales, como lo muestra la figura:
Con respecto a una circunferencia, los ángulos que existen son los siguientes:
a) Ángulo central: es aquel que posee en el centro de la circunferencia su vértice y sus lados son dos radios.
b) Ángulo inscrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
c) Ángulo semiinscrito: está en la circunferencia. En este ángulos uno de sus lados es secante y el otro tangente a la misma.
d) Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.
e) Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.
Clasificacion de triangulos
Triángulo Equilátero
El triángulo equilátero es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:
Triángulo Isósceles
El triángulo isósceles es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.
Triángulo Escaleno
El triángulo escaleno es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.
Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
Triángulo Acutángulo
El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.
Triángulo Rectángulo
El triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (< CAB).
Triángulo Obtusángulo
El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso, tal como se muestra a continuación:
Triangulos semejantes y congruentes
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de talmanera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos,sean congruentes con los del otro triángulo. Es decir que sean exactamente iguales.Sin embargo, para construir un triángulo congruente, es necesario conocer tres de susmedidas, y uno de esos datos debe ser la medida de un lado.Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son dependientes, lainformación mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a losllamados criterios de congruencia:
Postulados de congruencia
Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que doslados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también lamisma medida.
Postulado ALA
(Ángulo, Lado, Ángulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellostienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dosángulos es el lado común a ellos).
Dos
triángulos son semejantes si
cumplen alguna de las siguientes propiedades:
a)
Todos sus lados son proporcionales
Vemos
que los lados del ejemplo guardan la misma proporción:
Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2
Lado B / Lado B’ = 6,4 / 3,4 = 2
Lado C / Lado C’ = 5 / 2,5 = 2
b)
Tienen los tres ángulos iguales
Estos
dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.
c)
Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice
son proporcionales
Estos
dos ángulos tienen el ángulo C igual (30º) y los
dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales.
Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2
Lado B / Lado B’ = 9 / 4,5 = 2
d)
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS SEMEJANTES
Dos
triángulos rectángulos son semejantes si cumplen
alguna de las siguientes propiedades:
a)
Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales
En
ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo
recto mide 90º, el otro ángulo agudo tiene que medir 50º
ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos
siempre es 180º.
Por
lo tanto los tres ángulos son iguales, que ya vimos antes que
era uno de los requisitos para que dos triángulos fueran semejantes.
b)
Tienen los dos lados catetos proporcionales
Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2
Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2
Al
tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto
que forman mide 90º, cumple uno de los requisitos que vimos para
que dos triángulos fueran semejantes.
c)
Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales
Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33
Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33
Aplicando
el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos
que desconocemos.
Calculamos
su proporción:
Lado C / Lado C’ = 6,928 / 5,196 = 1,33
Luego
todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos
para que dos triángulos fueran semejantes.
Teorema de Tales
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes
si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son
proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los
postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
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Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula 
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Teorema de Pitagoras
Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:
Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...
... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...
... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
| Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
Ejemplo:
Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.
|
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